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| ● 円柱座標系を使うと便利な場合 |
| ● 熱伝導方程式一般式 |
| ● 体積と熱流量 |
| ｒ方向の熱バランス |
| θ方向の熱バランス |
| z方向の熱バランス |
| 全体の熱バランス |
| ● 熱伝導方程式のまとめ |
| ● 特異点の扱い ｒ＝０（中心軸） |
| ● 差分表現（詳細は差分参照） |
| ● シミュレーション（詳細はシミュレーション参照） |
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| ● 円柱座標系を使うと便利な場合 |
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| 熱伝導方程式の一般形式はどの座標系にも適用できる。温度シミュレーションのためには、必要な座標系に変換すればいい。板は直交座標、丸鋼片（ビレット）、パイプは円筒座標が適していると思われる。 |
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| ● 熱伝導方程式一般式 |
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| 熱伝導方程式の一般式は次式で与えられます。 |
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| ∂ρ/∂ｔ = λ儺, ρ=CvT |
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| 円柱座標では、次のようになります。 |
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| 式は使えればいいのですが、導出の方法が理解できると受け入れやすいと思います。ここでは熱の流れから熱伝導方程式を導出します。 |
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| ● 微小体積での熱流量 |
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| 円柱座標での微小領域での体積は次式で与えられます。 |
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| 微小領域なので、4乗は無視しています。そうすると、直交座標とほぼ同に表現できます。 |
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| ここで、矢印は熱エネルギーの流れを表しています。直交座標と同じく、フーリエの法則（熱流は、温度勾配に比例する。）を適用できます。 |
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| θ方向は要注意で、距離に対する変化率なので、ｄθではなくｒｄθとなります。 |
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| ● ｒ方向の熱バランス |
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| 微小領域なので、熱エネルギーの変化は、微小領域内では距離と比例関係にあるとします。（２次以上の複雑な関係ではないと仮定しています。） |
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| ● θ方向の熱バランス |
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| 微小領域なので、熱エネルギーの変化は、微小領域内では距離と比例関係にあるとします。（２次以上の複雑な関係ではないと仮定しています。） |
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| ● z方向の熱バランス |
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| 微小領域なので、熱エネルギーの変化は、微小領域内では距離と比例関係にあるとします。（２次以上の複雑な関係ではないと仮定しています。） |
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| ● 全体の熱バランス |
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| ｒ、θ、ｚ方向の熱エネルギーバランスをまとめると最初の絵になります。 |
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| ナブラ演算子を使うと、直交座標も円柱座標も同じ式で、かつ簡便に表現できます。 |
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| ● 熱伝導方程式のまとめ |
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| 第一項と第二項に微分の公式 (fg)’=f’g+fg’ をあてはめると次式になります。 |
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| ρ＝CvTなので、温度シミュレーションをする際には次式を使うほうが便利です。 |
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| ここで、αは熱拡散係数と呼ばれる係数です。 |
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| ● 特異点の扱い ｒ＝０（中心軸） |
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| 円柱座標では、中心軸は特異点になります。円ではなく楕円で近似すると特異点を回避できるようですが、ここでは割愛します。 |
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| 中心軸は、数学的には特異点ですが、実務では、中ｒ＜＝０．０１と考えると、ほぼ無視しても問題ないのではないかと思われます。 |
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| ｒ=0.01とした場合、外径100では面積比率0.000001%なので、実務上問題ないと思われます。この程度が問題になる場合は、特異点がある円柱座標は適用しないほうがいいと思います。 |
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| ● 差分表現（詳細は差分参照） |
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| 円柱座標の熱伝導方程式を中心差分形式で表現すると次式となります。（詳細は差分法参照） |
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| ● シミュレーション（詳細はシミュレーション参照） |
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| ある時刻の温度分布がわかっている場合、微小時間凾伯繧ﾌ温度分布は上の式で計算できます。これを順次計算していけば、知りたい時刻の温度分布が計算できます。（計算例は、シミュレーション参照） |
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| ある位置の断面の温度分布を知りたい場合は、簡易法としてｚの項を無視してｒ、θのみの式として計算してもいいと思います。 |
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| Author: T. Oda |
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